Álgebra e Expressões

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01|UECE 2006.1|Conh. Gerais

lo g_{2} 10 = t

, então

lo g_{10} 2

é igual a:

02|UECE 2006.2|Conh. Gerais

Se o polinômio

p (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 4 x + 12

pode ser fatorado como

p (x) = (x + a) (x^{2} + b)

, o valor de p(a - b) é

03|UECE 2007.2|Conh. Gerais

Se, no \"quadrado\" ao lado, a soma dos números nas 3 linhas é igual à soma dos números nas 3 colunas e é igual à soma dos números nas 2 diagonais, então a soma x + y + z + v, é

04|UECE 2008.1|Conh. Gerais

Em uma venda existem seis depósitos com capacidade de 15, 16, 18, 19, 20 e 31 litros, respectivamente. Um dos depósitos está cheio de nata e os outros estão cheios de leite ou de chocolate líquido. Se o volume de leite é o dobro do de chocolate líquido, a soma dos volumes de chocolate líquido e de nata existentes na venda é

05|UECE 2008.1|Conh. Gerais

O polinômio P(x) = x³ + ax² + bx + c, é tal que o polinômio Q(x)=P(x)+P(-x) se anula em x = 2 e Q(1) = 2. Podemos afirmar corretamente que o produto das raízes de P(x) é:

06|UECE 2008.2|Conh. Gerais

Se o quociente da divisão do polinômio p(x) = 6x³ + 25x² + 27x + 20 pelo polinômio d(x) é q(x) = 2x² + 3x +1 e o resto é r(x) = 12, então o produto dos coeficientes de d(x) é

07|UECE 2006.2|2ª Fase

Se o polinômio

p (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c

é divisível por

q (x) = x^{2} - x + 1

, então

a^{2} + b^{2} + c^{2}

é igual a:

08|UECE 2006.2|2ª Fase

Seja w = 6 + 3i um número complexo, que é representado no plano cartesiano pelo ponto P(6, 3). O conjunto solução da equação

w z + w z - 5 = 0

z \in C

, é representado no plano cartesiano por:

09|UECE 2007.1|2ª Fase

Se n é um número inteiro positivo, o produto de todos os números positivos da forma

2^{n} 5

10|UECE 2007.1|2ª Fase

Se o polinômio

P (x) = x^{4} + α x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + β

é divisível por

x^{2} + 1

, então

β / α

é igual a

11|UECE 2007.1|2ª Fase

Os números complexos z e w, escritos na forma z = x + yi e w = u + vi em que x≠0 e u≠0, são tais que z.w = 1. A soma dos quadrados u² + v² é igual a

12|UECE 2007.1|2ª Fase

Para valores de a diferentes de −1, 0 e 1, a expressão

(\frac{1}{a ^{2}} - 1) \cdot (\frac{1 - a}{a + 1} - \frac{1 + a}{1 - a}) \cdot (1 - \frac{a}{4})

é igual a

13|UECE 2007.2|2ª Fase

Os números complexos z1, z2, z3 e z4 são representados, no plano complexo, por quatro pontos, os quais são vértices de um quadrado com lados paralelos aos eixos e inscrito em uma circunferência de centro na origem e raio r. O produto z1.z2.z3.z4 é:

14|UECE 2008.1|2ª Fase

Se os polinômios

P (x) = x 21 n n x^{2} 1 m x 1

Q (x) = x^{3} - 4 x^{2} + x + 4

são idênticos, então o valor de

m / n

15|UECE 2008.1|2ª Fase

Os números reais p e -p, com p > 0, são raízes da equação

4 x^{3} + k x^{2} - 9 x - 9 i = 0

, na qual i é o número complexo tal que

i^{2} = - 1

. O valor do produto p.k.i é

16|UECE 2008.2|2ª Fase

No quadro ao lado,

X Y Z Y Z X Z X Y

, X, Y e Z são números naturais positivos, satisfazendo às seguintes condições: a soma dos números de cada linha, a dos de cada coluna e a dos de uma das diagonais são todas iguais a 10; a soma de uma das diagonais é 15. Os resultados possíveis do produto X.Y.Z são

17|UECE 2008.2|2ª Fase

No conjunto dos números reais positivos, definem-se as operações

p * q = p . q

p # q = \frac{p + q}{2}

. Se m e n são tais que

(2 m) * n = m # (2 n)

, então, necessariamente, teremos

18|UECE 2008.2|2ª Fase

Se a expressão

x^{2} + 9

se escreve na forma

m (x + 1)^{2} + p (x + 1) + q

, então m - p + q é igual a

19|UECE 2008.2|2ª Fase

Os números complexos

z_{1}

z_{2}

são as raízes da equação

x^{2} - 2 x + 5 = 0

. A soma

∣ z_{1} ∣ + ∣ z_{2} ∣

20|UECE 2009.1|Conh. Gerais

Os elementos dos conjuntos X, Y, V e W são polígonos em um mesmo plano, sendo X constituído por todos os paralelogramos, Y por todos os retângulos, V por todos os quadrados e W por todos os quadriláteros convexos cujos lados têm medidas iguais, mas as diagonais têm medidas diferentes. Podemos afirmar corretamente que

21|UECE 2009.1|2ª Fase

Os números reais u e v, para os quais o polinômio

p (x) = u x^{3} + v x^{2} - 73 x + 102

é divisível por

q (x) = x^{2} - 5 x + 6

, cumprem a condição

22|UECE 2009.1|2ª Fase

Considere o número complexo

z = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i

. Então

(z i)^{2007}

é igual a

23|UECE 2009.2|Conh. Gerais

Em relação à equação matricial M.X = 0, em que

M = 1 a 3 a 3 a 3 a 1

0 = 000

X = x y z

, podemos afirmar corretamente que

24|UECE 2009.2|2ª Fase

A soma dos quadrados das raízes da equação

\frac{1}{1 - \frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} = 5

25|UECE 2009.2|2ª Fase

Se o par de números reais positivos (x,y) é solução do sistema

{x^{2} + y^{2} = 1 2 x - y = 0

, então, em relação ao número complexo z = x + iy, podemos afirmar corretamente que

\frac{z ^{2}}{∣ z ∣ ^{2}}

é igual a

26|UECE 2010.1|Conh. Gerais

Para cada par ordenado de números reais não nulos (x,y) defina o número complexo

z = \frac{x + i}{y}

, onde i é a unidade imaginária (

i^{2} = - 1

). Se z e

z^{- 1}

têm a mesma parte real, então os pontos (x,y) estão sobre

27|UECE 2010.1|2ª Fase

Se o número complexo 1 + i é uma das raízes da equação

x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} - 10 x + 4 = 0

então a soma das raízes reais desta equação é

28|UECE 2010.2|Conh. Gerais

No plano complexo, o número z = 2 - 3i é o centro de um quadrado e w = 5 - 5i é um de seus vértices. O vértice do quadrado não consecutivo a w é o número complexo

29|UECE 2010.2|2ª Fase

O conjugado,

z ˉ

, do número complexo z = x + iy, com x e y números reais, é definido por

z ˉ = x - i y

. Identificando o número complexo z = x + iy com o ponto (x, y) no plano cartesiano, podemos afirmar corretamente que o conjunto dos números complexos z que satisfazem a relação

z z ˉ + z + z ˉ = 0

estão sobre

30|UECE 2011.1|2ª Fase

Os números complexos z = x + yi e w = y + xi satisfazem às igualdades |z| = |w| = 16. Se

z w - w z = 0

, em que

z = x - y i

w = y - x i

, então o valor da soma |x| + |y| é

31|UECE 2011.2|Conh. Gerais

O polinômio

p (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 4 x - 4

é divisível por

d (x) = x^{2} + k

, onde k é constante. Sobre as raízes da equação

q (x) = 0

, sendo

q (x)

o quociente da divisão de

p (x)

por

d (x)

, podemos afirmar corretamente que são duas raízes

32|UECE 2011.2|2ª Fase

Se o conjugado do número complexo

z = \frac{x + i}{y + i}

, em que x e y são números reais não nulos e

i^{2} = - 1

, é igual a seu inverso multiplicativo

z^{- 1}

, então devemos ter

33|UECE 2012.1|2ª Fase

Se i é a unidade imaginária (

i^{2} = - 1

), a forma trigonométrica do número complexo

z = \frac{3}{1 - i} - \frac{i}{1 + i}

, considerando o argumento principal, é

34|UECE 2012.2|2ª Fase

Um octógono regular está inscrito na circunferência representada no sistema cartesiano usual pela equação

x^{2} + y^{2} = 16

. Se quatro dos vértices do octógono estão sobre os eixos coordenados, então o produto dos dois números complexos que geometricamente representam os vértices do octógono que estão respectivamente no primeiro e no terceiro quadrantes (não pertencentes aos eixos coordenados) é (i é o número complexo cujo quadrado é igual a -1)

35|UECE 2013.1|2ª Fase

Se x e y são números positivos com x > y e

x^{2} + y^{2} = 6 x y

, então o valor de

\frac{x + y}{x - y}

36|UECE 2013.2|Conh. Gerais

A soma dos valores reais de a para os quais o polinômio

P (x) = x^{3} + (1 - a) x^{2} + (1 + a) x - 1

é divisível por

x - a

37|UECE 2013.2|2ª Fase

Os possíveis valores para o produto de dois números reais cuja diferença é 8 são todos os números

38|UECE 2013.2|2ª Fase

Se identificarmos o número real p com o número complexo p + 0i, a área do triângulo, no plano complexo, cujos vértices são as raízes da equação

x^{3} - 4 x^{2} + 4 x - 16 = 0

é igual a

39|UECE 2013.2|2ª Fase

Um número complexo z, em sua forma trigonométrica, é do tipo z = p(cosq + isenq), onde p é o módulo de z e q é a medida em radiano do argumento de z. Ao apresentarmos o número complexo

z = - 1 + i 3

em sua forma trigonométrica, os parâmetros p e q são respectivamente

40|UECE 2014.1|2ª Fase

Se x e y são números reais não nulos, pode-se afirmar corretamente que o módulo do número complexo

z = \frac{x - i y}{x + i y}

é igual a

41|UECE 2014.2|Conh. Gerais

Sejam x um número real e i o número complexo tal que

i^{2} = - 1

. Se

p = x + i

q = x - i

, então,

p + q + pq

é igual a

42|UECE 2014.2|Conh. Gerais

Se a e b são números racionais tais que

(1 - 2)^{3} = a - b 2

, então,

a \cdot b

é igual a

43|UECE 2015.1|2ª Fase

Se a expressão algébrica

x^{2} + 9

se escreve identicamente como

a (x + 1)^{2} + b (x + 1) + c

onde a, b e c são números reais, então o valor de a − b + c é

44|UECE 2015.1|2ª Fase

Se x é a média aritmética dos números reais a, b e c, e y é a média aritmética de seus quadrados, então a média aritmética de seus produtos dois a dois ab, ac, bc, em função de x e y é (Sugestão: considere o quadrado da soma dos três números.)

45|UECE 2015.2|2ª Fase

Se os números complexos z e w estão relacionados pela equação z + wi = i e se

z = 1 - \frac{1}{i}

então w é igual a (o número complexo i é tal que

i^{2} = - 1

)

46|UECE 2016.1|Conh. Gerais

O polinômio de menor grau, com coeficientes inteiros, divisível por

2 x - 3

, que admite

x = 2 i

como uma das raízes e

P (0) = - 12

é (i é o número complexo cujo quadrado é igual a -1.)

47|UECE 2016.1|2ª Fase

O conjunto dos números complexos pode ser representado em um plano munido do sistema de coordenadas cartesianas usual. As raízes da equação

x^{4} - 9 = 0

, quando representadas no plano, correspondem a pontos que são vértices de um

48|UECE 2016.2|Conh. Gerais

Se x é um número real tal que

x + \frac{1}{x} = 3

, então, o valor de

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}}

é (Sugestão: você pode usar o desenvolvimento do cubo de uma soma de dois números reais.)

49|UECE 2016.2|2ª Fase

No sistema de coordenadas cartesianas usual com origem no ponto O, considere os números complexos, na forma trigonométrica, dados por

z = 2 (cos 60° + i sen 60°)

w = 2 (cos 30° + i sen 30°)

. Os pontos do plano que representam estes números e a origem O são vértices de um triângulo cuja medida da área é (u.a. = unidades de área)

50|UECE 2017.1|Conh. Gerais

Se i é o número complexo cujo quadrado é igual a -1, então, o valor de

5 \cdot i^{227} + i^{6} - i^{13}

é igual a

51|UECE 2017.1|Conh. Gerais

O produto dos valores dos números reais

λ

para os quais a igualdade entre pontos do

R^{2}

(2 x + y, x - y) = (λ x, λ y)

ocorre para algum

(x, y) \neq = (0, 0)

é igual a

52|UECE 2017.1|2ª Fase

Se i é o número complexo cujo quadrado é igual a -1, e n é um número natural maior do que 2, então, pode-se afirmar corretamente que

(2 + 2 i)^{n}

é um número real sempre que

53|UECE 2017.2|Conh. Gerais

O polinômio

P (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

é tal que as raízes da equação

P (x) = 0

são os números -1, 1 e 2. Se

P (0) = 24

, então, o valor do coeficiente a é igual a

54|UECE 2017.2|2ª Fase

A soma dos quadrados dos números complexos que são as raízes da equação

x^{4} - 1 = 0

é igual a

55|UECE 2017.2|2ª Fase

Para cada j = 1, 3, 5, 7, considere o número complexo

z_{j} = cos \frac{π . j}{4} + i sen \frac{π . j}{4}

, onde i é o número complexo tal que

i^{2} = - 1

. Em relação aos números

p = z_{1} + z_{3} + z_{5} + z_{7}

q = z_{1} . z_{3} . z_{5} . z_{7}

, é correto afirmar que

56|UECE 2018.2|2ª Fase

Se o número complexo 1+i é uma das raízes da equação P(x)=0, onde

P (x) = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} + 2 x - 2

, então, é correto afirmar que P(x) é divisível por

57|UECE 2018.2|2ª Fase

Seja M o conjunto dos números complexos da forma z=a+bi, com a e b números inteiros,

b \neq = 0

∣ z ∣ = 5

(módulo de z igual a cinco). O número de elementos de M é igual a

58|UECE 2019.1|Conh. Gerais

Considerando o polinômio

P (x) = 4 x^{3} + 8 x^{2} + x + 1

, é correto afirmar que o valor da soma

P (- 1) + P (- \frac{1}{3})

é um número localizado entre

59|UECE 2019.1|Conh. Gerais

Considere os polinômios

m (x) = x^{2} - 3 x + 2

n (x) = x^{2} - 4 x + 3

q (x) = x^{3} - x^{2} - 4 x + 4

, que têm como fator comum o polinômio

f (x) = x - 1

. Se

P (x) = m (x) \cdot n (x) \cdot q (x)

, a soma das raízes distintas da equação polinomial

P (x) = 0

é igual a

60|UECE 2020.2|2ª Fase

Para o número complexo

w = x + i y

(x e y são números reais e i é tal que

i^{2} = - 1

), define-se o módulo de w por

∣ w ∣ = x^{2} + y^{2}

e o conjugado de w por

w = x - i y

. Se w é tal que

w + w = 4

e se

w^{2} + (w)^{2} = - 10

, então, o valor de

∣ w ∣

é igual a

61|UECE 2021.1|2ª Fase

Se o polinômio

P (x) = x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + k

, onde

k

é um número real, é divisível por

x - 1

, então, o valor da soma

P (2) + P (- 2)

62|UECE 2021.1|2ª Fase

Ao dividirmos o polinômio

P (x) = (x - 3)^{3} + (x - 2)^{2}

por

(x + 1) \cdot (x - 1)

obtemos o resto na forma

R (x) = a x + b

. Nestas condições, o valor de

a^{2} - b^{2}

é igual a

63|UECE 2021.1|2ª Fase

Seja

P (x) = x^{3} + p x^{2} + q x - 2

onde

p

q

são números reais tais que

P (1 + i) = 0

. Nestas condições, em relação às raízes

x_{1}

x_{2}

da equação

x^{2} + q x - p = 0

, pode-se afirmar corretamente que a soma

x_{1}^{2} + x_{2}^{2}

é igual a

64|UECE 2022.1|2ª Fase

i

é o número complexo cujo quadrado é igual a

- 1

e

é o número irracional que é a base do logaritmo natural, e

α

é um número real, podemos definir

e^{i α}

como sendo igual a

cos α + i sen α

. Em particular, se

α = π

, segue que

e^{iπ} + 1 = 0

. Apresentada por Leonardo Euler, esta é uma das mais belas expressões matemáticas envolvendo os números

e, 1, π

e 0 (zero). Se

z

é um número complexo não nulo,

r

é o módulo de

z

α

é o argumento principal de

z

, então, podemos facilmente verificar que

z = r e^{i α}

. Ao apresentarmos o número complexo

z = - 1 - 3 i

, nesta forma, teremos

65|UECE 2022.1|2ª Fase

A equação

z^{3} - 1 = 0

possui três soluções distintas, sendo uma delas o número 1 e as outras duas os números complexos

v = x + y i

w = p + q i

. Considerando o polinômio

P (z) = z^{3} - 1

, o valor de

P (v + w)

é igual a

66|UECE 2022.1|2ª Fase

O número irracional

(2 - 3)^{6}

é igual a

67|UECE 2022.2|Conh. Gerais

Em um plano munido do sistema usual de coordenadas cartesianas, identifica-se o par ordenado (x,y) com o número complexo z=x+iy, onde i é o número complexo tal que

i^{2} = - 1

. Se x e y são números reais quaisquer, o conjunto de números complexos z=x+iy, com

∣ z ∣^{2} = (x + i y) . (x - i y) = 1

, é representado por

68|UECE 2022.2|2ª Fase

O polinômio P(x)=x³+mx²+px+q é tal que P(1)=P(2)=P(3)=0. Assim, é correto afirmar que p é igual a

69|UECE 2022.2|2ª Fase

Se a igualdade

\frac{x - 2}{( x - 1 ) ( x ^{2} - 4 x + 5 )} = \frac{X}{x - 1} + \frac{Y x + Z}{x ^{2} - 4 x + 5}

se verifica para os números reais X, Y e Z e para

x \in R - {1}

, é correto afirmar que

70|UECE 2023.1|Conh. Gerais

Se z é o número complexo tal que

2 z + z ˉ i - 1 = 0

, onde

z ˉ

é o conjugado de z e i é o número complexo tal que

i^{2} = - 1

, então o módulo de z é igual a

71|UECE 2023.1|Conh. Gerais

Ao dividirmos o polinômio

P (x) = x^{6} - 1

por

x + 2

, obtemos o resto R e o quociente Q(x). O resto da divisão de Q(x) por

x - 1

é igual a

72|UECE 2023.1|2ª Fase

Se o polinômio

P (z) = z^{3} - 8 z^{2} + q . z - 12

admite o número complexo

z = 1 + i

onde i é a unidade imaginária, isto é

i^{2} = - 1

, como uma de suas raízes, isto é

P (1 + i) = 0

, então, se q é um número real, devemos ter

73|UECE 2023.2|Conh. Gerais

Se z é um número complexo tal que

z + \frac{1}{z} = 1

, então, o módulo de z é igual a

74|UECE 2023.2|2ª Fase

Em um plano, munido do sistema usual de coordenadas cartesianas ortogonal, podem ser marcados pontos que representam os números complexos e podem ser construídos gráficos de relações algébricas envolvendo as variáveis x e y. Ao identificarmos o número complexo z=x+yi, onde i é tal que

i^{2} = - 1

, com o par ordenado (x,y), podemos afirmar corretamente que os números

z_{1} = 1 + i

z_{2} = 1 - i

z_{3} = - 1 + i

z_{4} = - 1 - i

pertencem ao gráfico da relação

75|UECE 2024.1|Conh. Gerais

Usando as propriedades dos logaritmos, é correto concluir que o valor da expressão

3 lo g_{2} \frac{36}{25} + 3 lo g_{2} (\frac{6}{27}) - 2 lo g_{2} \frac{16}{125}

é igual a (log₂z ≡ logaritmo de z na base 2)

76|UECE 2024.1|2ª Fase

Se i é o número complexo cujo quadrado é igual a −1, então, o menor número inteiro positivo n para o qual a potência (1 + i)ⁿ é um número real é igual a

77|UECE 2024.2|2ª Fase

Se i é o número complexo cujo quadrado é igual a −1, então, o valor da soma 1 + i + i² + i³ + i⁴ + ⋯⋯ + i²⁰²⁴ é igual a

78|UECE 2025.1|2ª Fase

As quatro raízes complexas z1, z2, z3 e z4 da equação z⁴ − 1 = 0, quando representadas no plano, munido do sistema de coordenadas cartesianas usual, são pontos identificados com os vértices de um quadrado com centro no ponto O(0,0). Assim, o resultado do produto das quatro raízes, z1.z2.z3.z4, é

79|UECE 2025.2|Conh. Gerais

Se os números reais −1, 0, 1, u, v são as raízes do polinômio P(x) = x⁵ − 10x³ + 9x, isto é, P(−1) = P(0) = P(1) = P(u) = P(v) = 0, então o produto u.v é igual a

80|UECE 2025.2|2ª Fase

Seja o número complexo cujo quadrado é igual a −1, e w = (1+2i)/(3+4i) + (2−i)/(5i). Se z é o número complexo tal que w.z = 1, então, z é igual a

81|UECE 2025.2|2ª Fase

Suponha que H⁺(S) representa a concentração de hidrogênio, em íons-grama por litro, de uma substância S e que o pH da substância S é dado por pH(S) = log(1/H⁺(S)). Se uma substância S0 possui concentração de Hidrogênio em íons-grama por litro igual a 1,1.10⁻⁹ então o pH de S0 é aproximadamente igual a (Nota: considere o logaritmo decimal e log11 = 0,0414, aproximadamente.)

82|UECE 2026.1|Conh. Gerais

Se p e q são números distintos que satisfazem a equação z² − 2z + 2 = 0, então, p² + q² é igual a

83|UECE 2026.1|Conh. Gerais

Se a, b e c são as raízes da equação x³ − 3x² + 4x − 2 = 0, então, o valor de

lo g_{1/2} (2/ a + 2/ b + 2/ c)

é igual a (Note:

lo g_{1/2} (X)

≡ logaritmo de X na base 1/2.)

84|UECE 2026.1|Conh. Gerais

Usando-se as propriedades dos logaritmos, é correto concluir que o valor da expressão log₈2 − log₆216 + log₈₁3 + log₁₀1 é igual a

85|UECE 2026.1|2ª Fase

Se i é o número complexo cujo quadrado é igual a −1, então o valor de

\frac{5 i ^{27} + 3 i ^{16} - i ^{32}}{( 1 + i ) . ( 1 - i )} (2 i)

é igual a

86|UECE 2026.1|2ª Fase

Se p e q são números que satisfazem a equação x² − 9x + 8 = 0, então a soma log₂p + log₄p + log₂q + log₄q é igual a

87|UECE 2026.1|2ª Fase

Se log2 (logaritmo decimal de 2) é igual a 0,3010, então é correto afirmar que log(5.√3200) é igual a

88|UECE 2026.2|Conh. Gerais

A forma geral de um número complexo z é z = x + iy, onde x e y são números reais, e i é o número complexo cujo quadrado é igual a −1. Em um plano munido do referencial cartesiano ortogonal usual, pode-se identificar o número complexo z = x + iy com o par ordenado (x, y). Com essa identificação, a expressão (4 + 6i)/(1 − i) será identificada com