Equações e Inequações

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01|UECE 2006.1|Conh. Gerais

A equação do segundo grau cujas raízes são

- \frac{1}{2}

\frac{1}{3}

é:

02|UECE 2007.1|Conh. Gerais

A solução da equação

\frac{3 ^{- 1}}{2} - 3 \frac{8}{27} = - \frac{5}{x}

03|UECE 2007.1|Conh. Gerais

Se x e y são dois números reais tais que

6^{x + y} = 36

6^{x + 5 y} = 216

, então

\frac{x}{y}

é igual a

04|UECE 2007.1|Conh. Gerais

O valor de x na equação

2 = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + x}}

05|UECE 2007.2|Conh. Gerais

Se u e v são as soluções da equação

6 x + x^{- 1} - 5 = 0

, então a expressão

u + v - uv

é igual a

06|UECE 2008.2|Conh. Gerais

A soma de todos os números inteiros positivos a e b que satisfazem a igualdade

a^{2} - b^{2} = 15

07|UECE 2006.1|2ª Fase

z_{1}

z_{2}

são as raízes (complexas conjugadas) da equação

x^{2} - 2 a x + a^{2} + b^{2} = 0

, então

∣ z_{1} ∣ + ∣ z_{2} ∣

é igual a:

08|UECE 2006.1|2ª Fase

A soma dos quadrados de todas as raízes da equação

x^{6} - 14 x^{4} + 49 x^{2} - 36 = 0

é igual a:

09|UECE 2006.1|2ª Fase

O número de raízes reais da equação

4^{x} - 2^{x} - 2 = 0

é:

10|UECE 2007.1|2ª Fase

Se x = p é a solução em R da equação

2 - lo g_{x} 2 - lo g_{2} x = 0

, então

11|UECE 2007.2|2ª Fase

O número de soluções da equação

\frac{x}{5 - x ^{2}} = \frac{x}{x ^{2} + 3}

é:

12|UECE 2007.2|2ª Fase

Se os números p e q são as soluções da equação

(2 + lo g_{2} x)^{2} - lo g_{2} x^{9} = 0

, então o produto p.q é igual a:

13|UECE 2008.1|2ª Fase

Se x e y são números reais que satisfazem, respectivamente, às desigualdades

2 \leq x \leq 15

3 \leq y \leq 18

, então todos os números da forma

x / y

, possíveis, pertencem ao intervalo

14|UECE 2008.2|2ª Fase

A raiz da equação

(5^{x} + 5) (5^{x} - 5) = 620

é um número

15|UECE 2009.1|2ª Fase

O número de elementos do conjunto formado pelos inteiros positivos x que satisfazem à desigualdade

4 \leq x \leq 17

16|UECE 2009.1|2ª Fase

Se u é o número real positivo e diferente de 1, tal que

lo g_{u} 7 = - \frac{1}{3}

, então

lo g_{1/ u} 117649

é igual a

17|UECE 2009.1|2ª Fase

Em relação às raízes da equação

x^{3} - 4 x^{2} + 3 x = 0

, podemos afirmar, corretamente, que

18|UECE 2009.2|2ª Fase

Três das raízes da equação

x^{7} - x^{5} + x^{3} - x = 0

são os números -1, 0, 1. Em relação às outras raízes, podemos afirmar, corretamente, que

19|UECE 2010.1|Conh. Gerais

Se os números naturais n, n² e n³ são as raízes da equação x³ + px² + qx - 64 = 0, então, a soma p + q é igual a

20|UECE 2010.1|2ª Fase

Se x + y = 2 então o menor valor numérico que a expressão

x^{2} + 3 y^{2}

pode assumir é

21|UECE 2010.2|2ª Fase

Se os números m, p e q são as soluções da equação

x^{3} - 7 x^{2} + 14 x - 8 = 0

então o valor da soma

lo g_{2} m + lo g_{2} p + lo g_{2} q

22|UECE 2010.2|2ª Fase

Os números -2, -1, 0, 1 e 2 são as soluções da equação polinomial p(x) = 0, as quais são todas simples. Se o polinômio p(x) é tal que

p (2) = 22

, então o valor de

p (3)

é igual a

23|UECE 2010.2|2ª Fase

A idade de Paulo, em anos, é um número inteiro par que satisfaz a desigualdade

x^{2} - 32 x + 252 < 0

. O número que representa a idade de Paulo pertence ao conjunto

24|UECE 2011.1|2ª Fase

Se os números reais x e y satisfazem simultaneamente as igualdades

2^{x + 4} = 0, 5^{y}

lo g_{2} (x + 2 y) = 2

, a diferença y − x é igual a

25|UECE 2011.1|2ª Fase

Se x, y, z e w são as raízes da equação

x^{4} + 2 x^{2} + 1 = 0

, então

lo g_{2} ∣ x ∣ + lo g_{2} ∣ y ∣ + lo g_{2} ∣ z ∣ + lo g_{2} ∣ w ∣

é igual a

26|UECE 2011.1|2ª Fase

Se os polinômios

p (x) = x^{3} + m x^{2} + n x + k

g (x) = x^{3} + u x^{2} + v x + w

, são divisíveis por

x^{2} - x

, então o resultado da soma m + n + u + v é

27|UECE 2011.2|Conh. Gerais

Considerando

l o g_{2} 3 = k

podemos afirmar, corretamente, que a soma das raízes da equação

2^{x} - 12 + 27 \cdot 2^{- x} = 0

é igual a

28|UECE 2011.2|2ª Fase

A soma dos quadrados das raízes da equação

x^{2} + (p - 5) x - (p + 4) = 0

, depende do número real p. O menor valor que esta soma pode assumir é

29|UECE 2011.2|2ª Fase

Se na divisão do polinômio P(x) por

x^{2} - 4

o resto é x + 22 e o quociente é

x^{2} + 25

e se p é o produto e q a soma das raízes da equação P(x) = 0, então a potência

p^{q}

é igual a

30|UECE 2012.1|2ª Fase

O número real positivo x que satisfaz a condição

x^{2} = x + 1

é chamado de número de ouro. Para este número x, temos que

x^{5}

é igual a

31|UECE 2012.2|Conh. Gerais

Se as equações

x^{2} - 6 x + k = 0

x^{2} - 2 x + 1 = 0

admitem uma raiz comum, então, o valor de k é

32|UECE 2012.2|Conh. Gerais

1 0^{0, 3012} = 2

, então o valor de x tal que

1 0^{x} = 6400

33|UECE 2012.2|2ª Fase

Se os números

x_{1}, x_{2}, x_{3}

x_{4}

, são as soluções da equação

x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 = 0

, então o valor da soma

lo g_{3} ∣ x_{1} ∣ + lo g_{3} ∣ x_{2} ∣ + lo g_{3} ∣ x_{3} ∣ + lo g_{3} ∣ x_{4} ∣

34|UECE 2013.1|2ª Fase

A soma dos valores de k para os quais o polinômio

P (x) = x^{3} + k^{2} x^{2} - 4 k x - 5

é divisível por x − 2 é

35|UECE 2013.1|2ª Fase

Se k é um número inteiro qualquer, sobre as raízes da equação

x^{2} + k x + k - 1 = 0

, pode-se afirmar corretamente que

36|UECE 2013.1|2ª Fase

Se k é o logaritmo decimal de 2, isto é,

k = lo g_{10} 2

, então o conjunto solução, em R, da desigualdade

lo g_{2} x + lo g_{5} x < \frac{1}{k - k ^{2}}

37|UECE 2013.2|Conh. Gerais

Os únicos números reais x que satisfazem a igualdade

x = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}

são

38|UECE 2013.2|2ª Fase

Se os números -1 e 2 são raízes da equação polinomial

x^{3} + x^{2} + m x + p = 0

, então o valor de

(m + p)^{2}

é igual a

39|UECE 2014.2|Conh. Gerais

Se as raízes da equação

x^{2} + p x + q = 0

são números inteiros positivos e se uma delas é o dobro da outra, pode-se afirmar corretamente que

40|UECE 2014.2|2ª Fase

Se m, p e q são as raízes da equação

6 x^{3} - 11 x^{2} + 6 x - 1 = 0

, então o resultado da divisão da soma m + p + q pelo produto m.p.q é

41|UECE 2014.2|2ª Fase

A equação

x^{5} - x = 0

possui

42|UECE 2015.1|2ª Fase

O conjunto das soluções da equação

3 x - 2 = x + 2

é formado por

43|UECE 2015.1|2ª Fase

Se os números 2+i, 2−i, 1+2i, 1−2i e 0,5 são as raízes da equação

2 x^{5} + p x^{4} + 42 x^{3} - 78 x^{2} + 80 x + q = 0

, então o valor de p + q + pq é

44|UECE 2015.2|2ª Fase

A soma das raízes reais da equação

3. lo g_{2} ∣ x ∣ + 5. lo g_{4} x^{2} - 32 = 0

é igual a

45|UECE 2015.2|2ª Fase

Um objeto é lançado verticalmente, para cima, de forma que a altura alcançada h, medida em metros, e o tempo decorrido após o lançamento t, medido em segundos, estão relacionados pela equação

h - 120 t + 5 t^{2} = 0

. Considerando h = 0 e t = 0 no instante do lançamento, então o tempo decorrido desde o lançamento até alcançar a altura máxima, e a altura máxima atingida são respectivamente

46|UECE 2016.1|Conh. Gerais

Pode-se afirmar corretamente que a equação

lo g_{2} (1 + x^{4} + x^{2}) + lo g_{2} (1 + 2 x^{2}) = 0

47|UECE 2016.2|2ª Fase

O resto da divisão de

(x^{2} + x + 1)^{2}

por

x^{2} - x + 1

48|UECE 2017.1|Conh. Gerais

Considere a equação

x^{2} + p x + q = 0

, onde p e q são números reais. Se as raízes desta equação são dois números inteiros consecutivos, positivos e primos, então, o valor de

(p + q)^{2}

é igual a

49|UECE 2017.1|2ª Fase

Se as raízes da equação

x^{2} - 5∣ x ∣ - 6 = 0

são também raízes de

x^{2} - a x - b = 0

, então, os valores dos números reais a e b são respectivamente

50|UECE 2017.1|2ª Fase

Sejam

P (x) = x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1

um polinômio e M o conjunto dos números reais k tais que

P (k) = 0

. O número de elementos de M é

51|UECE 2017.1|2ª Fase

Se os números de divisores positivos de 6, de 9 e de 16 são as raízes da equação

x^{3} + a x^{2} + b x + c = 0

, onde os coeficientes a, b e c são números reais, então, o valor do coeficiente b é

52|UECE 2017.2|2ª Fase

O resto da divisão do polinômio

D (x) = x^{5} - 5 x^{3} + 4 x

pelo polinômio

d (x) = x^{3} - x^{2} - 4 x + 1

é o polinômio do segundo grau r(x). A solução real, não nula, da equação r(x)=0 pertence ao intervalo

53|UECE 2018.1|2ª Fase

A quantidade de números inteiros positivos n, que satisfazem a desigualdade

\frac{3}{7} < \frac{n}{14} < \frac{2}{3}

54|UECE 2018.1|2ª Fase

Se o polinômio

p (x) = x^{5} + a x^{3} + x

é divisível pelo polinômio

d (x) = x^{3} + b x

, onde a e b são números reais, então, a relação entre a e b é

55|UECE 2018.2|Conh. Gerais

Se x é o logaritmo de 16 na base 2, então, o logaritmo (na base 2) de

x^{2} - 5 x + 5

é igual a

56|UECE 2019.1|Conh. Gerais

Quantos são os valores inteiros que o número real k pode assumir, de modo que as raízes da equação

x^{2} - 3 x + k = 0

sejam reais não nulas e de sinais contrários, e que a equação

x^{2} + k x + 1 = 0

não tenha raízes reais?

57|UECE 2019.1|2ª Fase

Se os três números primos distintos

p_{1}

p_{2}

p_{3}

são as raízes do polinômio

p (x) = x^{3} + H x^{2} + K x + L

, então, a soma dos inversos multiplicativos desses números é igual a

58|UECE 2019.1|2ª Fase

Se as raízes do polinômio

P (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 47 x - 60

são reais, distintas e formam uma progressão aritmética, então, a soma dos cubos dessas raízes é igual a

59|UECE 2019.2|2ª Fase

Se P(z) é um polinômio do quarto grau na variável complexa z, com coeficientes reais, que satisfaz as seguintes condições:

P (i) = P (- i) = P (i + 1) = P (1 - i) = 0

P (1) = 1

, então,

P (- 1)

é igual a (Observação: i é o número complexo cujo quadrado é igual a –1.)

60|UECE 2020.1|2ª Fase

Sobre a equação

x^{4} - 5 x^{2} - 36 = 0

, é correto afirmar que

61|UECE 2020.1|2ª Fase

Se o número real k é a solução da equação

9^{x} - 8. 3^{x} - 9 = 0

, então, o número k cumpre a seguinte condição:

62|UECE 2020.2|2ª Fase

No plano, com o sistema de coordenadas cartesianas usual, o gráfico da função real de variável real

f (x) = x^{4} - 10 x^{2} + 9

cruza o eixo dos x nos pontos (a, 0), (b, 0), (c, 0) e (d, 0). Assim, é correto afirmar que a soma

a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}

é igual a

63|UECE 2020.2|2ª Fase

Se R(x) é o resto da divisão do polinômio

P (x) = (x^{2} + x + 1)^{2}

pelo polinômio

Q (x) = x^{2} - x + 1

, então, o valor numérico de R(2) é igual a

64|UECE 2021.1|Conh. Gerais

Sejam W e V, respectivamente, os conjuntos das raízes, no universo dos números complexos, das equações

x^{2} - 2 x - 1 = 0

x^{4} + 13 x^{2} + 36 = 0

. Se

X = W \cup V

, então, a soma dos quadrados dos elementos de X é igual a [Nota:

i

é o número complexo cujo quadrado é igual a −1.]

65|UECE 2021.1|2ª Fase

n

é um número natural, a solução da equação

9 - 2^{x} - 2^{x - 1} - 2^{x - 2} - .... - 2^{x - n} - .... = 0

66|UECE 2022.1|Conh. Gerais

A solução da equação

(lo g_{2} (x))^{- 1} + (lo g_{3} (x))^{- 1} + (lo g_{4} (x))^{- 1} + (lo g_{5} (x))^{- 1} = 2

67|UECE 2022.2|Conh. Gerais

Se a e b são números reais positivos,

a \neq = 1

b \neq = 1

e se

4. lo g_{u} b + 2. lo g_{v} b^{2} = 18

, onde

u = a^{2/3}

v = a^{2}

, então, o valor de

lo g_{a} b

é igual a

68|UECE 2023.1|2ª Fase

Se o número positivo a,

a \neq = 1

, é tal que para

x > 0

tivermos

lo g_{a} x = 4. lo g_{10} x

, então o valor de

a

69|UECE 2023.2|Conh. Gerais

Se o produto das raízes da equação

x^{2} + n^{2} - 2 n x - 64 = 0

, onde x é a incógnita e n é constante, é igual a 36, então, a soma dos quadrados destas raízes é igual a

70|UECE 2023.2|Conh. Gerais

Considere as funções reais

f : R^{+} \to R

g : R^{+} \to R

, onde

R^{+}

é o conjunto dos números reais positivos, definidas por

f (x) = lo g_{2} x

g (x) = lo g_{3} x

. Se

x_{1}

x_{2}

são os possíveis valores de x que satisfazem à condição

f (x) . g (x) = lo g 2. lo g 3

, então, o produto

x_{1} . x_{2}

é igual a [Nota: logx indica o logaritmo de x na base 10.]

71|UECE 2024.1|Conh. Gerais

Se o resto da divisão do polinômio P(x), de grau n > 1 e coeficientes reais, por x+1 é igual a 4 e se a soma dos coeficientes das potências xᵖ em P(x) com p um número ímpar for igual a 2016, então, a soma dos coeficientes de xᵖ em P(x) com p um número par é igual a

72|UECE 2024.1|2ª Fase

A equação x − √x − k = 0, onde k é um número real, possui solução no conjunto dos números reais quando é verificada a desigualdade

73|UECE 2024.1|2ª Fase

A soma dos quadrados de dois números inteiros positivos ímpares consecutivos cujo produto é igual a 483 é

74|UECE 2024.1|2ª Fase

Seja P(x) um polinômio do terceiro grau cujo coeficiente de x³ é igual a 1 (um). Se P(1) = − 16, P(5) = 0 e P(0) = − 50, então, podemos afirmar corretamente que P(−1) é igual a

75|UECE 2024.1|2ª Fase

Sobre a equação logarítmica 3 − 2.log₂(2 + x) − 2.log₂(2 − x) = 0, é correto afirmar que (log₂Z ≡ logaritmo de Z na base 2)

76|UECE 2024.2|Conh. Gerais

O valor do número real positivo x que satisfaz a igualdade

\frac{3}{lo g _{2} x} + \frac{2}{lo g _{3} x} + \frac{2}{lo g _{5} x} = 2

77|UECE 2025.2|2ª Fase

O número 2 como raiz da equação x⁴ − 8x³ + 20x² − 16x = 0 tem multiplicidade igual a

78|UECE 2026.1|2ª Fase

Se, ao dividirmos o polinômio P(x) = x⁵ − x⁴ + x³ − x² + 2x + 1 por D(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são coeficientes numéricos constantes, obtivermos o quociente Q(x) = x³ − 1 e o resto R(x) = x + 2, então é correto afirmar que o produto a.b.c é igual a

79|UECE 2026.2|Conh. Gerais

Se, para os números reais a e b, a divisão do polinômio P(x) = x⁴ + x² + ax + 1 por Q(x) = x² + x + b é exata, então a soma a + b é igual a

80|UECE 2026.2|2ª Fase

Se o número real x, maior que 1, é tal que log₄ₓ2 = log₄2 + log₁ᵢₓ2, então log₂x é igual a

81|UECE 2026.2|2ª Fase

Se x1, x2 e x3 são as raízes do polinômio P(x) = x³ − x² − 4x + 4 e se q = x1² + x2² + x3² − 6, então P(q) é igual a

82|UECE 2026.2|2ª Fase

Se −1 é uma das raízes de P(x) = x³ + mx² + nx − 3, em que m e n são números reais, e se o resto da divisão de P(x) por x − 1 é igual a 4, então P(−3) + P(3) é igual a