Matrizes e Determinantes

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01|UECE 2006.2|2ª Fase

O valor de k para o qual a equação matricial

X^{2} - k X^{2} - Y = 0

, é igual a matriz identidade, sendo

X = (10 0 k)

Y = (10 0 - k)

, é:

02|UECE 2006.1|2ª Fase

O determinante da matriz

2 x 10 301 14 x - 1

é nulo para um valor de x situado no intervalo:

03|UECE 2007.1|2ª Fase

Considere a matriz

M = 123232 32 x

. A soma das raízes da equação

det (M^{2}) = 25

é igual a

04|UECE 2007.2|2ª Fase

Seja

X = M + M^{2} + M^{3} + \dots + M^{k}

, em que M é a matriz

(1011)

e k é um número natural. Se o determinante da matriz X é igual a 324, então o valor de

k^{2} + 3 k - 1

é:

05|UECE 2008.1|2ª Fase

Se as matrizes

M = (x - y y x)

N = (1221)

são tais que M.N = N.M, então, sobre os números reais x e y, é possível afirmar, corretamente, que

06|UECE 2008.2|2ª Fase

A matriz M é dada por M = P.Q, em que

P = (11 - sen x sen x)

Q = (cos x 0 01)

. O determinante da matriz M é

07|UECE 2009.1|2ª Fase

Se x e y são dois ângulos cuja soma é

\frac{π}{3}

, então o determinante da matriz

sen x cos y 0 cos x sen y 0 00 - 1

é igual a

08|UECE 2009.2|2ª Fase

Considere os parâmetros p = cosx e q = senx, com

0 \leq x \leq 2 π

, e as matrizes

U = (10)

V = (01)

M = (p q - q p)

. Se M.U = V, então tg

\frac{x}{2}

é igual a

09|UECE 2010.1|Conh. Gerais

Se M é a matriz

(- 3/5 4/5 4/5 3/5)

, então o determinante da matriz

M^{2} = M . M

é igual a

10|UECE 2010.1|2ª Fase

Considere as matrizes

E = x u m y v n z w p

F = u 2 x m + 3 x v 2 y n + 3 y w 2 z p + 3 z

G = - m - u x - n - v y - p - w z

. Se o determinante da matriz E é igual a 3 então o determinante da matriz produto F.G é igual a

11|UECE 2010.2|Conh. Gerais

Se n é um número inteiro positivo e X é a matriz

111021003

, então o valor do determinante da matriz

Y = X^{n}

12|UECE 2011.2|2ª Fase

Considere as matrizes M, N e P dadas por

M = [211131]

N = 12 - 1 - 1 11

e P = MN. O valor do determinante da matriz inversa de P é

13|UECE 2012.1|Conh. Gerais

Se x e y são números reais distintos e não nulos, a matriz

X = (x y 11)

admite inversa

X^{- 1}

. A soma dos elementos de

X^{- 1}

14|UECE 2012.1|2ª Fase

Na matriz

M = 1 x x 11 x 111

, o valor de x é

x = lo g_{2} y

, y > 0. Para que exista a matriz

M^{- 1}

, inversa da matriz M, é necessário e suficiente que

15|UECE 2012.2|2ª Fase

O determinante da matriz P = M x M, em que

M = i 0 i i i 0 0 i i

, é igual a (i é o número complexo cujo quadrado é igual a -1)

16|UECE 2013.1|2ª Fase

Se as matrizes

M = 1 y 3 x 22 31 z

P = 246122313

N = a 00 0 b 0 00 c

satisfazem a igualdade M.N = P, então x + y + z é igual a

17|UECE 2013.2|2ª Fase

S_{n}

representa a soma dos n primeiros números naturais positivos (

S_{n} = 1 + 2 + \dots + n

), então o valor do determinante da matriz

M = S_{1} S_{1} S_{1} S_{1} S_{2} S_{2} S_{1} S_{2} S_{3}

é igual a

18|UECE 2014.1|2ª Fase

Se os números reais x, y, z, m, n, p, u, v, w formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão q, então o valor do determinante da matriz

M = x m u y n v z p w

19|UECE 2014.1|2ª Fase

Uma matriz quadrada

P = (a_{ij})

é simétrica quando

a_{ij} = a_{j i}

. Por exemplo, a matriz

2 - 3 5 - 3 74 541

é simétrica. Se a matriz

M = x + y 16 x - y y - x x + 1 x y 2 y 1

é simétrica, pode-se afirmar corretamente que o determinante de M é igual a

20|UECE 2014.2|2ª Fase

Desenvolvendo o determinante abaixo, obtém-se uma equação do segundo grau.

1 - x 00 10501005 1 7 x x x = 0

. A raiz positiva desta equação é

21|UECE 2015.2|Conh. Gerais

Considerando as matrizes

M_{1} = (0111)

M_{2} = M_{1} \cdot M_{1}

M_{3} = M_{2} \cdot M_{1}

, ...,

M_{n} = M_{n - 1} \cdot M_{1}

, o número situado na segunda linha e segunda coluna da matriz

M_{10}

22|UECE 2015.2|2ª Fase

Para cada inteiro positivo n, defina a matriz

M_{n} = (10 n 1)

. A soma dos elementos da matriz produto

P = M_{1} . M_{2} . M_{3} . \dots . M_{21}

23|UECE 2016.1|Conh. Gerais

Sobre a equação

det M = - 1

, na qual M é a matriz

12 x 2 x 1 x 1 x

det M

é o determinante da matriz M, pode-se afirmar corretamente que a equação

24|UECE 2016.2|2ª Fase

Se V é uma matriz quadrada e n é um número natural maior do que um, define-se

V^{n} = V . V^{n - 1}

. Com essa definição, para a matriz

V = [1021]

, pode-se afirmar corretamente que o valor do determinante da matriz

Y = V + V^{2} + V^{3} + \dots + V^{2016}

é igual a

25|UECE 2017.1|2ª Fase

Uma matriz quadrada

X = (a_{ij})

é simétrica quando

a_{ij} = a_{j i}

. Se o determinante da matriz simétrica

M = 1 x z 21 w 3 y 1

é igual a 8, então, o valor da soma

x + y + z + w

pode ser

26|UECE 2017.2|2ª Fase

Se o produto das matrizes

M = [1 q p 1]

K = [x 1 1 y]

satisfaz a condição M.K = K.M, então, a expressão

pq - x y

é igual a

27|UECE 2018.1|2ª Fase

A solução real da equação

123 lo g_{2} (x) 1 lo g_{2} (x) 321 = 8

, é um número inteiro (

lo g_{2} (x)

≡ logaritmo de x na base 2)

28|UECE 2019.1|Conh. Gerais

Os elementos

a, b, c, d

da matriz

M = (a c b d)

são distintos entre si e escolhidos aleatoriamente no conjunto {1, 3, 5, 7}. Considerando-se, para cada escolha destes elementos, d o determinante de M, o número de valores distintos que d pode assumir é

29|UECE 2019.1|2ª Fase

Considere as matrizes

M = [1321]

N = [p u q v]

. Se

M . N = N . M

, é correto afirmar que o determinante da matriz N é igual a

30|UECE 2019.2|2ª Fase

Na matriz

M = [x_{1} x_{3} x_{2} x_{4}]

, os números reais

x_{1}

x_{2}

x_{3}

x_{4}

formam, nessa ordem, uma progressão geométrica crescente cujo primeiro termo

x_{1}

é maior do que zero. Se q é a razão dessa progressão, é correto afirmar que o determinante da matriz M (detM) satisfaz a dupla desigualdade

31|UECE 2020.1|Conh. Gerais

Considere a matriz

M = 123 x 1 y 321

, em que x e y são números reais. Se det(M) representa o determinante da matriz M, então, em um plano com o sistema de coordenadas cartesiano usual, a equação det(M) = -4 expressa a equação de uma reta. A distância dessa reta à origem do sistema de coordenadas é igual a (u.c. ≡ unidade de comprimento)

32|UECE 2020.2|2ª Fase

Se M é uma matriz quadrada, define-se, para cada número natural n maior do que um, as seguintes matrizes:

M^{2} = M . M

M^{3} = M^{2} . M

, ...,

M^{n} = M^{n - 1} . M

. Para a matriz

M = [- 3/5 4/5 4/5 3/5]

, o valor do determinante da matriz

M^{2021}

é igual a

33|UECE 2021.1|Conh. Gerais

Considere as matrizes reais

M = (a a^{2} b b^{2})

N = a 1 a 1 a \cdot b 0 b 0 b

. Se o determinante de

M

é igual a 2 e o determinante de

N

é igual a 1, então, o produto

a \cdot b

pode ser igual a

34|UECE 2021.1|2ª Fase

M

é a matriz

M = sen (x) cos (x) 1 - cos (x) sen (x) 0 101

det (M)

é o determinante de

M

, então, para um número inteiro

k

, todas as soluções

x

da equação

det (M) = 0

são da forma

35|UECE 2022.1|Conh. Gerais

Considerando-se as matrizes

X = 201130

Y = (201041)

Z = (2 X) . Y

, é correto afirmar que o determinante da matriz Z é igual a

36|UECE 2022.1|2ª Fase

Considere a matriz

M = (x y y x)

, onde x e y são números reais. Se

M^{2} = M . M

, então, o determinante de

M^{2}

é igual a

37|UECE 2022.2|2ª Fase

Se P e Q são matrizes quadradas, em geral P.Q≠Q.P, isto é, o produto de matrizes quadradas não é uma operação comutativa. Contudo, em casos especiais, pode ocorrer a comutatividade. Por exemplo, se x é um número real, as matrizes

P = x 01 010 10 x

Q = 10 x 010 x 01

satisfazem a igualdade P.Q=Q.P. Se P e Q são matrizes do tipo acima e M=P.Q=Q.P, então, o resultado da soma dos quadrados dos valores de x, tais que o determinante de M é igual a zero, é

38|UECE 2023.1|2ª Fase

A teoria das matrizes é, hoje, utilizada em diversas atividades da vida profissional das pessoas, como atividades comerciais, financeiras, computacionais e tantas outras. Utilizaremos matrizes para apresentar uma questão sobre equações polinomiais. Considere as matrizes

M_{2} = (x 1 1 x)

M_{3} = x 01 0 x 0 10 x

M_{4} = x 001 0 x 10 01 x 0 100 x

. O conjunto de todos os valores de x que satisfazem a igualdade

det (M_{2}) - det (M_{3}) + det (M_{4}) = 0

é [Nota: det(M) denota o determinante da matriz M.]

39|UECE 2023.2|2ª Fase

Matrizes numéricas são utilizadas em muitos procedimentos adotados na Administração de Empresas. Temos em alguns casos a soma e o produto de matrizes. Quando a matriz é quadrada, pode-se calcular seu determinante. Considere as matrizes

X = (100110)

Y = 101010

, V=X.Y e W=Y.X. Calculando os determinantes de V e W, obtém-se que det(V)+det(W) é igual a

40|UECE 2024.1|Conh. Gerais

Considere as matrizes

A = [1/2 0 0 1/2]

A^{2} = A . A

A^{3} = A^{2} . A, ........, A^{n} = A^{n - 1} . A, ........

Se dₙ é o determinante da matriz Aⁿ, então, a soma d₁ + d₂ + d₃ + ........ + dₙ +........ é igual a

41|UECE 2024.1|2ª Fase

Considere as matrizes

P = [100110]

Q = 101010

. Se X = P.Q e Y = Q.P, é correto afirmar que

42|UECE 2024.2|2ª Fase

Considere as matrizes

M = [132231]

N = 123321

. Se P = det(M.N) e Q = det(N.M), então, o valor da soma P + Q é (Nota: det(X) é o determinante da matriz X.)

43|UECE 2025.1|2ª Fase

Considere as matrizes

M = [10 - 1 2]

P = [x - 1 x^{2} 1]

. Se det(M.P) é o determinante da matriz produto M.P e x1 e x2 são as raízes da equação det(M.P) = 0, então, x1 + x2 é igual a

44|UECE 2025.2|Conh. Gerais

Uma matriz m x n é um quadro retangular formado por m.n elementos dispostos em m linhas e n colunas. Na maioria dos casos, esses elementos são números. Matrizes são muito usadas em diversas atividades profissionais, principalmente em relatórios e na organização de dados. Envolvendo conceitos, propriedades e cálculos no contexto de Matemática, sobre a matriz

M = 123202 32 - 1

, considere estas afirmativas: I. O determinante da matriz M é igual a 24. II. O traço da matriz M é não nulo. III. A matriz M é invertível. IV. Os elementos numéricos da matriz produto M² = M.M são todos positivos. A quantidade de afirmações corretas é

45|UECE 2025.2|2ª Fase

O determinante da matriz

M = [1423]

é não nulo, portanto, M é invertível. Seja

[a c b d]

a matriz inversa de M. É correto afirmar que a soma a + b + c + d é igual a

46|UECE 2026.1|Conh. Gerais

Se (x, y, z) é a solução da equação matricial

121122111 x y z = 678

, então, o produto x.y.z é igual a

47|UECE 2026.1|2ª Fase

Ao considerarmos a seguinte equação matricial

24 - 4 - 3 32 35 - 6 x y z = 1460

, é correto concluir-se que x + y + z é igual a

48|UECE 2026.1|2ª Fase

Se M é uma matriz quadrada e n é um número inteiro maior do que um, usaremos a notação Mⁿ = M.M.M....M (n fatores). Se

M = [1111]

e se

S = M + M^{2} + M^{3} + \dots + M^{9} = [x z y w]

, então x + y + z + w é igual a

49|UECE 2026.2|Conh. Gerais

O valor do número real a para que o determinante da matriz

a 41 257368

seja igual a −1 é

50|UECE 2026.2|2ª Fase

Se o traço da matriz

[x y z w]

é, por definição, a soma x + w, então podemos afirmar corretamente que o único valor de m tal que as matrizes

M = [m 1 2 m 3 m]

e M² tenham o mesmo traço é (Nota: por definição, M² = M.M.)