Álgebra e Expressões

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01|UVA 2004.1|Conh. Gerais

Seja

P (x) = x^{4} + k_{1} x^{3} + k_{2} x^{2} + k_{3} x + k_{4}

um polinômio com coeficientes inteiros. Sabe-se que as quatro raízes de P(x) são inteiras e que três delas são pares e uma é ímpar. Então podemos afirmar que:

02|UVA 2005.1|Conh. Gerais

O valor de

lo g_{2} (\frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \dots 2 n}{n !})

é:

03|UVA 2005.2|Conh. Gerais

A = 1 lo g_{2} 100 (lo g_{2} 100)^{2} 1 lo g_{2} 50 (lo g_{2} 50)^{2} 1 lo g_{2} 5 (lo g_{2} 5)^{2}

então:

04|UVA 2006.1|Conh. Gerais

Se k é uma raiz da equação

x^{2} - x - 1 = 0

, determine o valor de

k^{5} - 5 k

05|UVA 2006.1|Conh. Gerais

Sejam a, b e c reais não nulos tais que

a + b + c = 0

. Calcule o valor de:

\frac{( b + c ) ^{2}}{a ^{2}} + \frac{( a + c ) ^{2}}{b ^{2}} + \frac{( a + b ) ^{2}}{c ^{2}}

06|UVA 2006.2|Conh. Gerais

Uma pessoa possui um certo número de laranjas. Cada vez que se dobrar esse número ela dará 80 laranjas aos amigos. Dobraram-no três vezes, e, depois da terceira vez a pessoa ficou sem nenhuma laranja. Calcule quantas laranjas essa pessoa tinha no princípio.

07|UVA 2006.2|Conh. Gerais

Para que valores de x existe

A^{- 1}

, sendo

A = (2 x x 1 x)

Questão anulada pelo gabarito oficial (UVA). Não há alternativa correta — a questão é exibida apenas para referência.

08|UVA 2006.2|Conh. Gerais

a 0 c b d 0 012

, então o valor de

2 a 0 c b d 0 012

é:

09|UVA 2006.2|Conh. Gerais

O polinômio

P (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

é idêntico a

Q (x) = 5 x^{2} - 3 x + 4

. Então, temos que

a + b + c + d

é igual a:

10|UVA 2006.2|Conh. Gerais

lo g_{3} 2 = 0, 63

lo g_{3} 11 = 2, 18

, calcule

lo g_{3} (\frac{1}{1936})

11|UVA 2007.1|Conh. Gerais

A implicação verdadeira, quaisquer que sejam os números reais e distintos x e y, tais que

x^{2} + x = y^{2} + y

é:

12|UVA 2007.1|Conh. Gerais

\frac{1}{x ^{3} + x + 1} = \frac{27}{37}

, então

\frac{1}{x ^{3} + x + 2}

é igual a:

13|UVA 2007.2|Conh. Gerais

Um polinômio p(x) tem resto A, quando dividido por (X-A), e resto B, quando dividido por (X-B), sendo A e B números reais. Se o polinômio p(x) é divisível por (X-A)(X-B), então:

14|UVA 2007.2|Conh. Específicos

O resto da divisão, por x-b, do polinômio

P (x) = 1111 x a b c x^{2} a^{2} b^{2} c^{2} x^{3} a^{3} b^{3} c^{3}

é:

15|UVA 2013.2|Conh. Específicos

Considere o conjunto dos números inteiros Z e a operação # definida por

x # y = x + y - 2

. Assinale a opção correta:

16|UVA 2014.1|Conh. Específicos

Sejam x e y tais que

lo g_{10}^{x} = 0, 88

(dízima) e

lo g_{10}^{y} = 1, 285714

(dízima), onde o traço indica dízima periódica. Então:

17|UVA 2014.2|Conh. Específicos

Dado que

lo g 5 = 0, 699

, o número de algarismos de

5^{1234}

é:

18|UVA 2015.1|Conh. Específicos

A diferença simétrica entre dois conjuntos A e B é definida como

A \cup B - A \cap B

. Dados

X = {1, 2, 3}

Y = {3, 5}

, subconjuntos do conjunto dos números naturais, podemos dizer que:

19|UVA 2015.1|Conh. Específicos

A solução para a equação

(1 - 3 i) + (2 + 2 i) x = 0

, onde i é a unidade imaginária do conjunto dos números complexos, é:

20|UVA 2015.2|Conh. Específicos

O polinômio p do terceiro grau é tal que

p (0) = 2

p (1) = 3

p (2) = 27

p (3) = 83

é:

21|UVA 2016.1|Conh. Específicos

Um polinômio p(x) é tal que cada coeficiente é igual ao grau do termo correspondente. Supondo que p(x) tem grau n, qual o valor de p(1)?

22|UVA 2016.1|Conh. Específicos

Considerando o plano cartesiano, isto é, o conjunto de todos os pares ordenados de números reais, assinale a alternativa correta:

23|UVA 2016.2|Conh. Específicos

Seja z um número complexo de módulo

ρ

e argumento

θ \in (0, π /2)

. Sabendo-se que

z^{2}

se encontra no segundo quadrante do plano de Argand-Gauss, então, dentre as possibilidades para as raízes quadradas de z, é correto afirmar que:

24|UVA 2017.1|Conh. Específicos

Assinale a alternativa que não contém uma raiz da equação

z^{6} = 1

com z pertencente ao conjunto dos números complexos.

25|UVA 2017.1|Conh. Específicos

Considerando os conjuntos não vazios A, B, C, sabe-se que

A \cap B \cap C

é não vazio, que

x \in A \cup B

x \in A \cap C

e que

x \in / B \cap C

. Assinale a alternativa correta:

26|UVA 2017.2|Conh. Específicos

Seja z um número complexo de módulo |z| e argumento

θ

. Sendo

w = ∣ z ∣ (sin θ + i cos θ)

, assinale a alternativa que representa o produto z.w:

27|UVA 2019.1|Conh. Específicos

Um pentágono está inscrito em uma circunferência de raio 1. O ponto (1,0) é vértice do pentágono. Sendo i a unidade imaginária do conjunto dos números complexos, assinale a alternativa que indica os demais vértices do pentágono.

28|UVA 2019.2|Conh. Específicos

Um novo bairro na cidade de Complexilândia adota números complexos na forma polar (módulo em metros e argumento em graus) para endereçamento das casas. A praça central da cidade é considerada a origem do sistema e ela é cortada perpendicularmente por duas avenidas: a avenida Horizontal (que representa o eixo real) e a avenida Vertical (que representa o eixo imaginário). A casa do prefeito está localizada no ponto

350 (cos 65° + i sin 65°)

e a prefeitura no ponto

240 (cos 125° + i sin 125°)

. A distância em linha reta entre a casa do prefeito e a prefeitura é:

29|UVA 2022.1|Conh. Específicos

Em um jogo para smartphones, uma formiga se movimenta em um plano. O jogador determina o deslocamento da formiga para o próximo ponto usando a notação algébrica dos números complexos. Tal deslocamento será feito a partir da posição atual. Se o ponto inicial é dado por

0 + 0 i

e depois das jogadas

a + 3 i

- 2 + bi

a formiga está no ponto correspondente à

- 1 + i

, quais os valores de a e b respectivamente?

30|UVA 2012.2|Conh. Gerais

Sabendo que

lo g 254 = 2, 404

, então

lo g (254/10) + lo g (254/100)

vale:

31|UVA 2013.1|Conh. Gerais

Dado o polinômio

p (x - a) = x^{2} + a x + 1

, então o polinômio p(x) é dado por:

32|UVA 2013.1|Conh. Gerais

Considere os conjuntos não vazios A, B, C e x um elemento tal que

x \in A \cup B

x \in B \cap C

. Nestas condições, podemos afirmar que:

33|UVA 2014.1|Conh. Gerais

Considere os conjuntos distintos e não vazios A, B, C de modo que

A \subset B \subset C \subset N

, onde N é o conjunto dos números naturais. Definindo

D = (A \cup B) \cap (A \cup C)

, é correto afirmar que:

34|UVA 2014.2|Conh. Gerais

Considere os números complexos

z_{1}, z_{2}, z_{3}

z_{4}

cujos afixos são, respectivamente, (2,0), (0,1), (-2,0) e (0,-1). O afixo de

z_{1} - z_{2} - z_{3} + z_{4}

é:

35|UVA 2015.2|Conh. Gerais

Dados os intervalos

A = [1, 8 [

B =] 7, 9]

C =] 8, 9 [

D = [1, 9]

, assinale a alternativa correta:

36|UVA 2016.1|Conh. Gerais

Os números complexos

z_{1} = a + ib

z_{2} = c + i d

podem ser representados geometricamente no plano de Argand-Gauss por pontos no primeiro e no quarto quadrantes, respectivamente. Considerando a, b, c, d todos não nulos, com respeito à representação geométrica do produto

z_{1} \cdot z_{2}

é correto afirmar:

37|UVA 2016.2|Conh. Gerais

Considere os polinômios p e q definidos no intervalo

(0, + \infty)

e tais que

p (x) = x^{5} + x^{4} + q (x)

. Dividindo-se p(x) por q(x) obtém-se

x^{3} + 1

. Assinale a alternativa correta.

38|UVA 2017.1|Conh. Gerais

A negação de "Rita é brasileira ou Rita foi ao museu" é:

39|UVA 2017.1|Conh. Gerais

Sabe-se que a, b são números reais tais que

lo g a = 0, 8

lo g b = 0, 62

. Assinale o valor de

lo g_{b} a^{2}

40|UVA 2019.2|Conh. Gerais

Seja M o conjunto dos meses do ano (janeiro, fevereiro, ..., dezembro) e D o conjunto dos dias da semana (segunda, terça, ..., domingo). Considere o conjunto

A = {(j an e i r o, se g u n d a), (j an e i r o, t er c \c a), (d ez e mb r o, t er c \c a), (n o v e mb r o, q u a r t a)}

e assinale a alternativa correta:

41|UVA 2008.1|Conh. Gerais

P(x) é um polinômio do 2° grau e K um número real não nulo. Se P(0)=0,

P (- k) = 2 k^{2}

P (x) = P (k - x)

para todo x real, então o resto da divisão de P(x) por x-1 é igual a:

42|UVA 2008.1|Conh. Gerais

Na figura, temos o esboço do gráfico da função definida por

y = lo g_{(a + b)}^{(x - b)}

, passando pelos pontos (a,0) e (3a,2). O valor de a+b é:

43|UVA 2008.2|Conh. Específicos

O quociente da divisão

p (x) = (x^{2} + 3)^{4} \cdot (x^{3} + 2)^{2}

por um polinômio de grau 2 é um polinômio de grau:

44|UVA 2008.2|Conh. Específicos

Se 2a+3b=10, então

a a - 2 b 0 - 3 a^{2} + b^{2} a^{2} - 10

vale:

45|UVA 2009.1|Conh. Gerais

Sendo

P (x) = (x^{2} + x - 1)^{50}

, a diferença entre o termo independente de P(x) e a soma dos coeficientes de P(x) vale:

46|UVA 2009.1|Conh. Específicos

Seja o polinômio

P (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}

divisível por

H (x) = x - 1

. Se os coeficientes

a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}

estão em progressão aritmética, então podemos garantir que:

47|UVA 2009.2|Conh. Gerais

O número

1 + 22

é igual à raiz quadrada de:

48|UVA 2009.2|Conh. Gerais

Sendo

P (x) = Q (x) + x^{2} + x + 1

e sabendo-se que 2 é raiz de P(x) e que 1 é raiz de Q(x) então P(1)-Q(2) vale:

49|UVA 2010.1|Conh. Gerais

Sendo

k_{1}, k_{2}

k_{3}

as raízes da equação

2 x^{3} - 3 x^{2} + 5 x + 1 = 0

, o valor da expressão

k_{1}^{2} k_{2}^{2} + k_{2}^{2} k_{3}^{2} + k_{3}^{2} k_{1}^{2}

é:

50|UVA 2010.1|Conh. Específicos

P (x) = x^{3} + A x + 6750

é um polinômio do 3° grau com uma raiz dupla e uma simples. Qual o valor absoluto da raiz simples?

51|UVA 2010.2|Conh. Gerais

3 x + 3 y + 3 z = 0

, então

(x + y + z)^{3}

vale:

52|UVA 2010.2|Conh. Específicos

O polinômio P é tal que

P (x) + x P (2 - x) = x^{2} + 3

para todo x real. P(2) é igual a:

53|UVA 2004.2|Conh. Gerais

Os valores de k,

k_{1}

k_{2}

que tornam o polinômio

P (x) = 4 x^{5} + 2 x^{4} - 2 x^{3} + k x^{2} + k_{1} x + k_{2}

divisível por

Q (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 2 x + 1

satisfazem as desigualdades:

54|UVA 2011.1|Conh. Gerais

Considere o polinômio

p (x) = a x^{2} + b x + c

com

a \neq = 0

. Sejam

α, β

suas raízes reais distintas. Sobre as raízes do polinômio

p (x + α) - p (x + β)

, podemos afirmar:

55|UVA 2011.1|Conh. Específicos

Simplificando a expressão

\frac{1}{2} lo g_{b} (u - u^{2} - a^{2}) - \frac{1}{2} lo g_{b} (u - u^{2} - a^{2}) + lo g_{b} a

obtemos: