Equações e Inequações

Clique numa questão pra abrir.

01|UVA 2004.1|Conh. Gerais

Seja a equação

x^{2} - k x + 1000 = 0

tem duas raízes reais m e n,

m > 0

n > 0

. Então podemos afirmar que:

02|UVA 2004.1|Conh. Gerais

Dada a equação

2 x^{2} + (2 k - 30) x + 2 k = 0

. Qual é a soma de todos os valores que k deve assumir para que as duas raízes da equação sejam números inteiros?

03|UVA 2003.1|Conh. Gerais

Resolvendo-se a equação

\frac{1}{x ^{2} - 5 x + 6} - \frac{1}{x - 2} = 0

x \neq = 2

x \neq = 3

, pode-se afirmar que:

04|UVA 2003.1|Conh. Gerais

Dada a equação

13 x^{2} - 52 x + 13 lo g k = 0

, esta equação só terá solução se e somente se:

05|UVA 2003.1|Conh. Gerais

O conjunto solução de

∣ x + 3∣ \leq ∣1 - x ∣

é o conjunto dos números x tais que:

06|UVA 2003.2|Conh. Gerais

O número de raízes reais do polinômio

P (x) = (x^{2} - 1) (x - 2) (x + 3)

é:

07|UVA 2003.2|Conh. Gerais

Se o par ordenado

(x_{0}, y_{0})

é a solução do sistema

{2^{x + y} = 2^{y}; lo g_{10} (3 x + 4) = 1 + lo g_{10} (y - 1)}

, então

x_{0} + y_{0}

é igual a:

08|UVA 2003.2|Conh. Gerais

A equação

\frac{k x}{4} - \frac{x - 2}{k} = 1

, admite infinitas soluções para que valor de k?

09|UVA 2005.1|Conh. Gerais

Quantos números inteiros e estritamente positivos satisfazem a sentença

\frac{1}{x - 20} \leq \frac{1}{12 - x}

10|UVA 2005.2|Conh. Gerais

Assinale a afirmação correta. O polinômio

x^{2} - k x + 1

11|UVA 2006.2|Conh. Gerais

A equação

x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 16 = 0

tem raízes reais a, b, c tais que

a = b + c

. O valor de

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{b}{a c}

é:

12|UVA 2007.1|Conh. Gerais

Sabendo-se que 1 é uma raiz dupla do polinômio

p (x) = x^{3} - 3 x + 2

, então o conjunto de todos os números reais para os quais a expressão

\frac{1}{p ( x )}

está definida é:

13|UVA 2007.1|Conh. Gerais

O sistema de equações

{\frac{2 ^{x + β y}}{2 ^{α x}} = 32; \frac{3 ^{β x - y}}{3 ^{α y}} = 81}

tem solução única (x,y) se e somente se:

14|UVA 2014.1|Conh. Específicos

Uma caneta do tipo A custa R$3,00. Uma caneta do tipo B custa R$2,00. A empresa X deve fazer uma compra de forma que os dois tipos de caneta sejam adquiridos e o valor total da compra seja de, no mínimo, R$400,00. Assinale a alternativa correta:

15|UVA 2014.2|Conh. Específicos

Dado que

x \cdot (37 + 6)^{2014} = 1

, é correto afirmar:

16|UVA 2016.1|Conh. Específicos

O conjunto solução da inequação

\frac{4 x ^{2} - 1}{2 x - 4} < 0

é:

17|UVA 2017.1|Conh. Específicos

Sabe-se que a=3 é uma das raízes do polinômio

p (x) = 2 x^{4} - 18 x^{3} + 58 x^{2} - 78 x + 36

. Ao todo, este polinômio possui quantas raízes distintas?

18|UVA 2017.2|Conh. Específicos

Considere a função polinomial

f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 5 x

. Assinale a alternativa correta:

19|UVA 2019.1|Conh. Específicos

Seja K o conjunto solução do sistema de inequações

{x - y > - 1; 2 x + y < 3; x + 2 y > - 1}

. A região do plano cartesiano delimitada por K é:

20|UVA 2014.1|Conh. Gerais

Tem-se

(((e^{x_{1}})^{x_{2}}) \dots)^{x_{n}} = 1

. Assinale a alternativa correta:

21|UVA 2017.1|Conh. Gerais

Dadas as inequações

2 x - 7 > 0

5 x - 8 < 0

, que valores de x satisfazem ambas simultaneamente?

22|UVA 2017.1|Conh. Gerais

Um professor aplicou três provas, a saber, P1, P2 e P3. Cada prova vale de 0 a 10. Para calcular a nota final (NF), ele multiplica a nota da prova Pk por k, soma os três produtos e depois divide o total por 6. Um aluno que obteve 3,0 na prova P1 e 3,0 na prova P2 deve obter que nota na prova P3 para que sua NF seja igual a 6,0?

23|UVA 2011.2|Conh. Específicos

Considere o polinômio

p (x) = x^{4} - 5 x^{2} + 4

. Sejam

r_{1} < r_{2} < r_{3} < r_{4}

as raízes de p. Se

x_{1}, x_{2}

são os pontos médios de

r_{1}, r_{2}

r_{3}, r_{4}

respectivamente, então a área do triângulo de vértices

(x_{1}, p (x_{1})), (x_{2}, p (x_{2})), (0, p (0))

é:

24|UVA 2012.2|Conh. Específicos

Considerando dois polinômios p(x) e q(x), sabe-se que (p+q)(x) possui 5 raízes distintas e que (p-q)(x) possui 3 raízes distintas. Pode-se afirmar que:

25|UVA 2008.1|Conh. Gerais

Considere a equação

4 x + 12 y = 1705

. Diz-se que ela admite uma solução inteira se existir um par ordenado (x,y) com x e y

\in Z

, que satisfaça identicamente. A quantidade de soluções inteiras dessa equação é:

26|UVA 2008.1|Conh. Gerais

Os números reais x e y são tais que

y = \frac{2 x ^{2} + 5 x - 3}{1 - 5 x}

. Nessas condições, tem-se y<0 se, e somente se, x satisfizer a condição:

27|UVA 2008.2|Conh. Gerais

O conjunto solução da equação

x x x x \dots = 144

N

é:

28|UVA 2008.2|Conh. Gerais

Sabendo que duas raízes da equação

x^{3} + 7 x^{2} - k x - 7 = 0

são iguais e de sinais contrários, qual é o valor de k?

29|UVA 2008.2|Conh. Específicos

Seja

f (x) = x^{2} - 2 x + 5

. O conjunto de valores de x tais que

f (x^{2}) = f (x)

é:

30|UVA 2008.2|Conh. Específicos

Sabendo que as soluções da equação

∣ x ∣^{2} - 6∣ x ∣ - 16 = 0

são raízes da equação

x^{2} - m x + n = 0

, podemos afirmar que:

31|UVA 2009.1|Conh. Gerais

A soma das raízes da equação

∣ x - 2∣ - x ∣ x + 1∣ = 2

é:

32|UVA 2009.2|Conh. Gerais

Se x+y=1, então o maior valor de xy é:

33|UVA 2010.1|Conh. Gerais

∣ x ∣ + ∣ y ∣ < 1

representa:

34|UVA 2010.2|Conh. Específicos

O número de soluções da equação

∣ x ∣ + 2∣ x - 2∣ = 1 + 4 x

é:

35|UVA 2004.2|Conh. Gerais

A maior raiz da equação

3 x^{3} - 13 x^{2} + 13 x - 3 = 0

é:

36|UVA 2011.1|Conh. Gerais

Considerando a equação

1 + x - x + 3 = 0

, a soma dos valores de x que a satisfazem é:

37|UVA 2011.1|Conh. Específicos

O produto das raízes da equação

x^{2} + x - 2 x^{2} + x + 3 = 0

é:

38|UVA 2011.1|Conh. Específicos

Sejam a, b números reais positivos e distintos. O número

\frac{a}{b} + \frac{b}{a}

pertence ao intervalo: