01|UVA 2026.1|Conh. Gerais
Um bombeiro usa uma escada de 10 metros encostada em um prédio, formando um ângulo de 60° com o chão. A que altura o bombeiro alcança no prédio? (Use cos 60° = 1/2 e despreze a altura do bombeiro.)
02|UVA 2004.1|Conh. Gerais
Num triângulo ABC cujos ângulos são designados por A, B e C, supõe-se que e . Nesse triângulo vale a relação:
03|UVA 2003.1|Conh. Gerais
A expressão , para , é idêntica a:
04|UVA 2003.2|Conh. Gerais
No triângulo ABC, , e . O maior valor possível, em , para a área do retângulo EFGH, construído conforme mostra a figura, é:
05|UVA 2003.2|Conh. Gerais
Determine os valores de para os quais a equação admite soluções.
06|UVA 2003.2|Conh. Gerais
O conjunto solução da equação é:
07|UVA 2005.1|Conh. Gerais
O número de soluções da equação , no intervalo é:
08|UVA 2005.2|Conh. Gerais
Em um triângulo ABC, é igual a: (p = semiperímetro, R = raio do círculo circunscrito)
09|UVA 2005.2|Conh. Gerais
Em um paralelogramo ABCD, os lados e medem, respectivamente, e , e é o ângulo agudo formado por esses lados. Se a diagonal maior mede , então o ângulo é tal que:
10|UVA 2006.1|Conh. Gerais
Calcule o valor exato de: .
11|UVA 2006.2|Conh. Gerais
Sendo e ângulos agudos tais que e , calcule .
12|UVA 2007.1|Conh. Gerais
Se , , é uma progressão geométrica, vale:
13|UVA 2007.1|Conh. Gerais
Um triângulo ABC, retângulo em A, possui área S. Se e r é o raio da circunferência circunscrita a este triângulo, então:
14|UVA 2013.1|Conh. Específicos
No quadrilátero abaixo tem-se um quadrado inscrito, o que determina dois triângulos. A razão entre a maior área e a menor área de tais triângulos, em função do ângulo formado num dos vértices, é:
15|UVA 2013.2|Conh. Específicos
Na divisão do polinômio por , o resultado foi . Supondo no intervalo , então:
16|UVA 2014.2|Conh. Específicos
Sendo , então é:
17|UVA 2015.1|Conh. Específicos
Um ativista deseja medir a altura de uma árvore que está do outro lado da margem de um rio de forte correnteza. Na margem em que ele se encontra, são marcados os pontos A e B que distam 25 metros um do outro. Considerando o triângulo formado por estes pontos e a base da árvore, o ativista consegue (através de observação) determinar ângulos em A e B sendo 75° e 60° respectivamente. Além disso, do ponto A ele consegue ver o topo da árvore com um ângulo de 45°. Dados: , , qual a altura da árvore?
18|UVA 2015.2|Conh. Específicos
Dada a equação , com , o conjunto solução é:
19|UVA 2016.1|Conh. Específicos
Na construção de uma estrada, chegou-se a um ponto em que será necessário explodir uma rocha para ligar os pontos A e B. Do ponto C, fora da rocha, é possível visualizar os pontos A e B de modo que o ângulo em C, no triângulo ABC, mede 37°. Admitindo que sen37°=0,6 e que AC=BC=800 metros, a distância entre AB é:
20|UVA 2016.2|Conh. Específicos
A quantidade de raízes da equação no intervalo é:
21|UVA 2017.1|Conh. Específicos
Uma circunferência de raio R tem centro na origem O do plano cartesiano. Tangenciando a circunferência no ponto T, no primeiro quadrante, tem-se a reta s, que encontra também os eixos coordenados X e Y nos pontos A e B, respectivamente. Sendo x o ângulo , a medida do segmento AB é:
22|UVA 2017.2|Conh. Específicos
Qual o número de intersecções entre os gráficos de e no intervalo ?
23|UVA 2017.2|Conh. Específicos
Seja definida por , onde N é o conjunto dos números naturais e R o conjunto dos números reais. Qual o valor de f(2017)?
24|UVA 2017.2|Conh. Específicos
A circunferência da figura tem raio 1 e centro na origem do plano cartesiano. O ponto B está sobre o eixo das abscissas. Nessas condições, a medida do segmento OA vale:
25|UVA 2018.1|Conh. Específicos
Um riacho separa os sítios dos irmãos Anastácia e Venâncio. Venâncio decidiu construir uma ponte de corda de modo a poder visitar a irmã mesmo no período de cheia. Ele pediu a Anastácia que procurasse o ponto mais alto da margem (no lado em que fica o seu sítio) e fez o mesmo do outro lado. Marcaram os pontos A e V, como mostra a figura: a ponte ligaria esses dois pontos. Depois, Venâncio, em sua margem, andou 50 metros para a direita, marcando o ponto V'. Com a ajuda de um teodolito, viu que o ângulo AVV' é e que o ângulo AV'V é . Venâncio concluiu que a largura da ponte deveria ser de, pelo menos:
26|UVA 2019.1|Conh. Específicos
Uma operadora de celular deseja instalar uma antena na cobertura de um prédio localizado em uma rua plana. Para melhor funcionamento, o topo da antena deve ficar a uma altura mínima de 240m em relação ao solo. Os técnicos calculam a altura do prédio depois de duas observações: em um ponto A da rua mede-se o ângulo de elevação do topo do prédio. Seguindo-se 100m em linha reta do ponto A em direção ao prédio, marca-se o ponto B e mede-se o novo ângulo de elevação. Sabendo que os ângulos observados em A e B têm tangentes 0,9 e 1,6, respectivamente, e que a antena deve ser construída com uma altura de medida inteira, assinale a alternativa que apresenta a altura mínima da antena a ser instalada:
27|UVA 2020.2|Conh. Específicos
Iglus são casas típicas de esquimós, povos indígenas que vivem no extremo norte do Planeta Terra. A moradia é uma semiesfera à qual foi adicionada uma pequena estrutura que serve de entrada. Joel, que mora em uma cidade da região Norte do Ceará, resolveu construir uma moradia nos moldes de um Iglu, para atrair o turismo. Dentro da estrutura, Joel deseja instalar uma lâmpada no ponto mais alto do teto – que está a 5 metros do chão – e mais uma lâmpada fixada à estrutura do iglu, a 3m de altura em relação ao solo. Desta segunda lâmpada é necessário ligar um fio (que ficará fixado na parede esférica do Iglu) até a lâmpada do ponto mais alto. Considerando-se a medida de arcos em radianos, qual o comprimento mínimo deste fio?
28|UVA 2023.1|Conh. Específicos
A NASA pretende enviar nova missão tripulada à Lua (da Terra) nos próximos anos. Pretende-se pousar num local diferente daquele onde foi fincada a bandeira dos Estados Unidos. O novo ponto de pouso, o centro da Lua e o ponto onde se encontra a bandeira americana, formam um triângulo isósceles cujo ângulo entre os lados de tamanho igual é de 30°. Sendo o raio da Lua aproximadamente 1.740 km, qual a menor distância entre os dois pontos (bandeira e novo ponto de pouso) que pode ser percorrida sobre a superfície lunar?
29|UVA 2023.1|Conh. Específicos
Para determinar a altura do Arco de Nossa Senhora em Sobral, Madalena dispõe de um aparelho para medir ângulos e uma fita métrica de 30 metros de comprimento. Ela está exatamente embaixo do Arco e caminha alguns passos se afastando do monumento. Ela pára e marca o ponto A. Continua a caminhada no mesmo sentido por mais 20 metros e marca o ponto B. Do ponto A, ela observa que o ângulo de elevação (a partir do solo) em relação ao ponto mais alto do Arco é de 60°. Do ponto B o novo ângulo de elevação é de 30°. Segundo os dados fornecidos por Madalena, qual a altura aproximada do Arco?
30|UVA 2011.2|Conh. Gerais
Seja . A soma das raízes de é:
31|UVA 2015.1|Conh. Gerais
Uma placa está fixada em um poste em uma rodovia estadual de modo suspenso, exatamente acima da pista, sendo que o ponto mais alto da placa está a 15 metros de altura com relação ao solo. Um veículo trafegando à noite tem faróis que conseguem iluminar objetos sob um ângulo de elevação de 35°. Considerando que , para que o motorista veja a placa totalmente iluminada pelos faróis de seu carro, ele precisa estar a uma distância mínima de aproximadamente:
32|UVA 2015.2|Conh. Gerais
Em um disco de vinil é marcado um ponto A em sua borda. Ao tocar uma música, o disco gira a uma velocidade constante de 78 RPM (rotações por minuto), isto é, a cada minuto, um ponto qualquer do disco terá dado 78 voltas. Uma pessoa olha o ponto A no início de uma música e só volta a olhar o ponto A no disco depois de 8 minutos e 10 segundos. Qual o ângulo percorrido pelo ponto A durante esse tempo?
33|UVA 2016.1|Conh. Gerais
Considere uma circunferência. Definindo a unidade de medida de ângulo fictícia \"flemba\", determinada pelo ângulo central correspondente a um arco cujo comprimento é a nona parte da circunferência, a quantas flembas correspondem 2 radianos?
34|UVA 2018.2|Conh. Gerais
Aristone tem um relógio em que o ponteiro menor dá apenas uma volta ao longo do dia. O ponteiro maior dá uma volta a cada hora. Desta forma, às 14h30min, qual o ângulo entre os ponteiros?
35|UVA 2019.2|Conh. Gerais
Qual o menor ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos às 6h25min?
36|UVA 2020.2|Conh. Gerais
Jonas e Joaquim partirão de Sobral para dois locais distintos. Para simular a aventura, eles recorrem a um mapa, que é uma aproximação planificada do globo terrestre. Jonas irá para um lugar que, de acordo com o mapa e partindo de Sobral, fica a Nordeste, numa direção que faz 35° com a direção norte. Para onde Joaquim irá, a Sudeste de Sobral, a direção é de 55° com a direção sul. Ao final das viagens, Jonas estaria a 30km de Sobral, enquanto Joaquim estaria a 40km de Sobral, considerando os trajetos em linha reta. Nessa simulação, qual a distância (em linha reta) entre os destinos de Jonas e Joaquim?
37|UVA 2024.1|Conh. Gerais
Um triângulo isósceles tem base x e lados congruentes medindo y, cada um deles. A tangente do ângulo a formado pelos lados x e y é:
38|UVA 2024.1|Conh. Gerais
Em um ponto A localizado na praia, Suzana avista um barco ancorado. Ela caminha 250m em linha reta pela praia saindo do ponto A e indo ao ponto B, de onde consegue avistar o mesmo barco. Considerando o triângulo formado pelos pontos de observação e o barco, Suzana mediu os ângulos em A (75°), em B (60°) e determinou o ângulo no terceiro vértice (o do barco). Qual a distância do ponto A ao barco?
39|UVA 2025.1|Conh. Gerais
Uma corda AB é traçada em uma circunferência de raio 10. Sabendo que o ângulo central determinado pelos pontos AB é de 1,2 radianos, qual é o comprimento do arco AB?
40|UVA 2011.2|Conh. Específicos
Uma equipe de aventureiros deseja montar uma tirolesa em um trecho no rio Acaraú, em Sobral. Na margem direita, fixou-se um ponto A. Na margem esquerda, um dos aventureiros marca dois pontos, B e C, mede a distância d entre eles e os ângulos internos do triângulo ABC. Ele observa que o ângulo BAC é o dobro do ângulo formado no vértice C. Sabendo que o cabo de aço para montar a tirolesa será suspenso entre os pontos A e B, qual o comprimento mínimo para o cabo?
41|UVA 2012.2|Conh. Específicos
Considerando , os valores de x que satisfazem estão no intervalo:
42|UVA 2012.2|Conh. Específicos
Considere os inteiros positivos m e n (com m<n). A distância entre o primeiro pico de e o primeiro pico de , com x>0 é:
43|UVA 2009.1|Conh. Gerais
Sendo , então vale:
44|UVA 2009.1|Conh. Específicos
A expressão pode ser idêntica a:
45|UVA 2010.1|Conh. Gerais
O conjunto solução da inequação , no intervalo , é:
46|UVA 2010.1|Conh. Gerais
O vigésimo quinto termo da sequência (cos 30°, cos 60°, cos 90°, ...) é:
47|UVA 2010.1|Conh. Específicos
Calculando k, de modo que as raízes da equação sejam o seno e o cosseno do mesmo ângulo , os possíveis valores desse ângulo no 1° ciclo trigonométrico são:
48|UVA 2010.2|Conh. Específicos
A diagonal menor do paralelogramo, cujos lados medem 6 cm e cm com ângulo de 30° entre eles, mede em cm:
49|UVA 2010.2|Conh. Específicos
O valor de , sendo uma das raízes da equação , é:
50|UVA 2004.2|Conh. Gerais
Assinale a igualdade verdadeira:
51|UVA 2004.2|Conh. Gerais
Escreva o desenvolvimento do binômio , onde m é um número inteiro maior que zero, em termos de potências inteiras de sen x e cos x. Para determinados valores do expoente, este desenvolvimento possuirá uma parcela P, que não conterá a função sen x. Seja m o menor valor para o qual isto ocorre. Então quando x for igual a:
52|UVA 2011.1|Conh. Específicos
Na figura abaixo, a razão x/y é: